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高考试题：
已知函数f（x）等于x2+2x+alnx（x>0）,f（x）的导函数是f ′（x）,对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明：
（Ⅰ）当a≤0时,f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）;
（Ⅱ）当a≤4时,|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.
该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题：能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强,使得（Ⅰ）﹑（Ⅱ）仍然成立呢?
为了探讨这个问题,首先给出一个定义和一个定理：
定义（函数凸凹性）： 已知函数f（x）在区间（a,b）有定义,对任意的x1﹑x2∈（a,b）.
（1）若有f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）,则称f（x）在区间（a,b）是凸函数;
（2）若有f（x1）+f（x2）2<f（x1+x22）,则称f（x）在区间（a,b）是凹函数.
定理（微分中值定理）：若函数f（x）在区间（a,b）连续,在区间[a,b]可导,则在区间（a,b）内存在一点ξ,使得
∣f（x1）-f（x2）∣等于∣f ′（ξ）∣·∣x1-x2∣
利用上述定义和定理,我们来探讨上面提出的问题：
对考题中的函数f（x）,求导得f ′（x）等于2x-
4x3-ax2,
f ″（x）等于2+4x3-ax2.要使f（x）满足f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）
,即f （x）是凸函数,只需满足f ″（x）等于2+4x3-ax2>0,即a<
2x2+4x.令g（x）等于2x2+4x,则g′（x）等于4x-4x2,g″（x）等于4+8x3,所以函数g（x）在x等于1处取到最小值g（1）等于6,所以a<6.故考题（Ⅰ）可加强为：
已知函数f（x）等于x2+2x+alnx（a>0）,f（x）的导函数是f ′（x）,对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明：当a<6时,f（x1）+f（x2）2>f（x1+x22）.
对于考题（Ⅱ）,由微分中值定理知,对任意两个不相等的正数x1﹑x2,在x1和x2之间存在一点ξ,使得︱f ′（x1）-f ′（x2）︱等于︱f ″（ξ）︱·∣x1-x2∣,所以要使f（x）满足|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|,只需︱f ″（x）︱等于︱2+
4x3-ax2︱>1.由上可知,当a<6时,f ″（x）=2+4x3-ax2>0,所以︱f ″（x）︱等于︱2+4x3-ax2︱等于2+4x3-ax2>1,即x3-ax+4>0,a<x2+4x.令h（x）等于x2+4x,则h′（x）等于
2x-4x2,h″（x）等于2+8x3,函数h（x）在32处取到最小值h（32）等于334,所以a<334.故考题（Ⅱ）可加强为：
已知函数f（x）等于x2+2x+alnx（x>0）,f（x）的导函数是f ′（x）,对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明：当a<334时,|f ′（x1）-f ′（x2）|>|x1-x2|.
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参考文献：
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