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舒幼生老师主编的《高中物理竞赛培优教程》一书中第470页有一道运用费马原理解决运动学问题的经典练习题,现摘录如下.
如图1所示,AC是东西走向的马车道,它的北面是一片沙砾地带,人在上面行驶速度只有6 km/h,而马车道上马车的速度为10 km/h.已知BD等于12 km,AD等于16 km.则一人要从A地走到B地所需要的最短时间是多少?
解 用类比法把AC看成两种介质的分界面,沿AC方向运动视为一束入射角为90°的光,可知当按光的折射定律运动时,所用时间最短.如图2所示,设AEB为所求的路径,则
sin90°sin∠EBD等于v1v2,
式子中v1等于10 km/h,v2等于6 km/h分别为坐马车和步行的速度,由式可得
sin∠EBD等于v2v1等于0.6,
tan∠EBD等于0.75,
因此DE等于0.75BD等于9.0 km,
AE等于AD-DE等于7.0 km,
BE等于1.25BD等于15 km,
t等于AEv1+BEv2等于3.2 h.
此题运用费马原理解决,具有一定的优势,首先,将光学的基本原理迁移到运动学中来,有利于加强学生对两方面知识的理解；另外,和光沿着所需时间为极值的路径传播相类比,将未知变为已知,大大简化了计算过程,使问题的解决过程清晰明朗.
但是,费马原理毕竟不是学生所熟知的内容,理解其内涵已属不易,要灵活运用难度更大.而且在中学阶段,极值问题一般采用如三角函数、重要不等式、判别式、求导等数学方法处理.下面笔者从三角函数、判别式、导数等三个方面对此问题重新审视求解,具体如下.
解 如图2所示,假设∠BED等于θ,由数学知识可知,人要从A地走到B地所需要时间满足
t等于LADv1+LBD（1v2sinθ-cosθv1sinθ）,
现在要求t的最小值,只要求1v2sinθ-cosθv1sinθ的最小值.
方法1 三角函数法
令y等于1v2sinθ-cosθv1sinθ,
代入数据,并整理得y等于4sinθ230cosθ2+cosθ230sinθ2,由重要不等式可知当
4sinθ230cosθ2等于cosθ230sinθ2时有最小值,
也就是4sin2θ2等于cos2θ2,
再结合 ,可以求出sin2θ2+cos2θ2等于1,
也就是sinθ等于45,cotθ等于34.
也就是说sinθ等于45时,时间t有最小值,
代入计算得t等于3.2 h.
方法2 判别式法
令y等于1v2sinθ-cosθv1sinθ,将两边平方,整理得
y2等于v21-2v1v2cosθ+（v2cosθ）2（v1v2）2（1-cos2θ）,
因为上式化成一个关于cosθ的一元二次方程
[（v1v2）2y2+v22]cos2θ-2v1v2cosθ+v21（1-v22y2）等于0,
则对应每一个实际可能的过程,都应该有实数解,故
Δ等于4（v1v2）2-4[（v1v2）2y2+v22]v21（1-v22y2）≥0,
解得y2≥v21-v22（v1v2）2,
代入相关数据可求得y≥860,
即t等于LAD v1+LBDy等于3.2 h.
方法3 求导法
令y等于1v2sinθ-cosθv1sinθ,现在只要求y的最小值,将y看作是θ的函数,要求y的最小值,只要求出y对θ的导数
y′等于-cosθv2（sinθ）2--cos2θ-sin2θv1（sinθ）2,
令y′等于0,也就是-v1cosθ+v2等于0,求得cosθ等于v2v1等于35.所以sinθ等于45,计算得y等于860,即t等于LADv1+LBDy等于3.2 h.
上面的三种方法都是学生所熟知的求极值的方法,虽然对数学功底要求较高,但是都能很好的体现新课标的应用数学知识解决物理问题的理念.
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参考文献：
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