论文刍议数学教材编写中混而不错是适合教材编写论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关参编教材开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
苏步青先生是20世纪对中国数学教育影响重大的数学大家,他亲临中小学第一线,为中学数学教师授课.在上世纪60年代主持编写上海市中学数学教材时,苏先生提出中小学教材可以“混而不错”的原则,率先放弃几何公理的独立性,增设了几何公理,强调代数和几何的融合.“混而不错”的教学理念,破除了过度形式主义的枷锁,有利于“和时俱进”地引入现代化的数学思想[1].高中数学课程标准也指出：“形式化是数学的基本特征之一.在数学教学中,学习形式化的表达是一项基本要求,但是不能只限于形式化的表述,要强调对数学本质的认识,否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.数学的现 展也表明,全盘形式化是不可能的.因此,高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程的本质.”从上述论断中不难体会,适度地形式化是中学数学教材编写和数学教学实践的基本准则,“混而不错”是适度形式化、部分数学内容非形式化的经典论断.
笔者在教学实践中强烈地感受到“混而不错”原则的重要价值,下面结合学习相关文献的体会,以沪教版高中数学教材为例,谈谈笔者对“混而不错”的肤浅认识.
1 “混而不错”的理论支撑和实践背景
“混”,就是非形式化的意思,是数学教育中采用的非形式化方法.从数学概念和原理的发生发展的历史来看,很多概念都经历了漫长的演变过程.比如,牛顿、莱布尼茨时代的微积分没有形式化,微积分从非形式化的直观语言发展到ε-N,ε-δ的形式语言经历了两个世纪.认知的历史发生原理表明,学生学习数学的认知过程和数学发展过程史存在一定的联系,对于某些内容两者确实存在较强的同构关系.所以,在高中有限的学习时间里介绍极限概念和微积分,不得不用非形式化方法进行处理,沪教版高中数学教材中在数列极限部分就没有引入ε-N语言,而是借助于直观的语言描述极限概念.
“混而不错”和陈重穆先生提出的“淡化形式,注重实质”有异曲同工之妙,两者其实都是关注于数学思想的发生和发展,而形式化、严格化则是后来用逻辑整理历史的结果.因此,在编写教材时本着以史为鉴的原则,就应该对某些教学难点问题采取“混而不错”的非形式化处理方法.可以说,数学发展史是“混而不错”的理论支撑.
张奠宙教授认为,随着教育的普及,数学课程成为人人必修的科目,“简单化”的大众数学也就随之而来[2].这就要求我们在教材编写和教学实践中采取适当的非形式化方法深入浅出地处理某些数学内容,让学生容易接受,例如长度、面积、体积的概念,只能模糊地描述,总不能要求中小学生去理解“某集合类上定义的有限可加、运动不变的正则测度”.所以说,大众数学是“混而不错”的实践背景.
2 “混而不错”的内涵和教材中的典型案例
在数学教育上,非形式化已成为必不可少的手段,问题是如何掌握以使之适当.中学教材中有些说不清楚的东西暂时可以“混”过去,但不要错.“不错”是大前提,关注的是大方向、本质；“混”是放松严格性的要求,现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明,但仍不失其真.
上面这段话阐释了“混而不错”的内涵：在教材编写中“混”是为了容易接受；“不错”,则是不能离开数学本质.无论是给出结论还是增加公理,处理教材的各种“混”的方式都确保了“不错”的原则前提,给出的结论和增加的公理本身都是正确的.
教材鉴于学生知识不足和使其问题避繁就简、易于接受的考虑,在“混而不错”原则的指导下对某些问题作了浅引和回避处理,除了上文提到的例子外,在沪教版高中数学教材中有多处运用“混而不错”原则进行内容处理的典型案例.
在函数部分,对指数函数性质的研究是通过图象的,而作图的依据是描点后用光滑曲线连接,至于描什么点才能正好反映出函数图象的准确性态,这是微分学的问题,可以放到大学数学中学习和研究,因而高中教材中回避了严格作图的问题.
在三角部分,教材“任意角的概念”部分的编写也是秉承着“混而不错”的原则.角的定义在高中阶段推广到任意角,这种推广包括“形”上有所突破——规定了正角、负角和零角；在“数”上有所创新——引入弧度制使角和数达到某种统一.然而对于这种有向角的运算（如加、减）,教材中并没有专门研究,而是默认和实数的运算类似（实际是将有向角和实轴上的实数一一对应）,教材默认的任意角的运算,直接体现在“诱导公式”、“两角和和差的三角函数”等三角恒等式的推导过程中.
在解析几何部分,求曲线方程的步骤中,验证方程的纯粹性较为复杂,沪教版教材中省略了这个步骤,指出“等证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点（在本教材中,这一步不作要求）”[3].
在立体几何部分,苏步青先生在编写中小学教材时“增设几何公理”的做法影响深远.比如,从人教社甲种本教材到如今各版本新教材的立体几何部分中都有平行公理（公理4）.
公理4 平行于同一条直线的两条直线相互平行[4].
该公理是可以由平面的平行公设（第五公设）和立体几何中的三个公理加以证明的.
证明：已知a∥b,b∥c,求证：a∥c.
证明 若a,b,c共面,假设a∩c等于M,则过M有两条直线和b平行,和平行公设矛盾.
下面只考虑a,b,c不共面的情况.
首先,两条平行直线a,b确定平面α,两条平行直线b,c确定平面β,α∩β等于b.
在c上取一点P.若P∈a,则P是α,β的公共点,故P∈b,和b∥c矛盾,故Pa,P,a确定平面γ.显然β,γ不重合,记β∩γ等于d.
倘若α,γ重合,则P是α,β的公共点,故P∈b,和b∥c矛盾,故α,γ不重合,α∩γ等于a.
若a∩d等于A,则A∈aA∈α,A∈dA∈β,所以A∈b,和a∥b矛盾,故a∥d.
若b∩d等于B,则B∈bB∈α,B∈dB∈γ,所以B∈a,和a∥b矛盾,故b∥d,而在同一平面β内,b∥c,P是c,d公共点,故c,d重合.
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参考文献：
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