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音乐是一种兼具时间、空间、抽象艺术等典型特征的表现形式,而数学恰恰又和这些特征息息相关,这种相关性深刻地体现在了音律中.音律是确定调式音高的基础,反映了各音的绝对准确高度及其相互关系.在音乐和数学的碰撞过程中,总会有好的音乐诞生,让我们一起来看看音乐和数学到底会碰撞出怎样的故事?柔美的音乐中是不是也会诞生数学呢?
七辞王位的
朱载堉和十二平均律
在音律中,每个音级为“一律”,如果将管仲的三分损益法推演下去,就会得到一个下4度音,依此类推,就能得到12个音,称“十二律”.如果按照三分损益法推演音律,计算到最后一律时就不能循环,这样在移调或转调时,就无法获得均等的音乐效果,从某种程度上来讲破坏了音乐的和谐之美.那么,如何解决三分损益法的这一瑕疵呢?如何令音律均等和谐呢?千百年间,中外的音乐家们孜孜以求,可他们大多以失败告终.幸而,在四百多年前的中国,一位皇亲解决了这个问题.朱载堉（1536-1611）,字伯勤,明代著名的律学家、历学家、音乐家.朱载堉自幼深受其父的影响,喜欢音乐、 数学等,被中外学者尊崇为“东方文艺复兴式的圣人”（绘图/朱宇彤）
1596年,皇子朱载堉为世界带来了一个韵律上的伟大贡献：他编撰了《律吕精义》.在这本书里,存在一个伟大的证明：匀律音阶的音程可以取二的十二次方根.
这个证明看似抽象,仿佛又完全是个数学定理,和音乐究竟有何关系呢?朱载堉到底证明了什么?
朱载堉从小就表现出对天文、数学、音乐的兴趣.在复杂的政治斗争中,他的父亲郑恭王被小人陷害入狱.从此,朱载堉的人生发生了天翻地覆的转折.他无心权位,从此远离了宫门,开始一心研究他热爱的数学和音乐.面对音乐演奏中“旋宫转调”这一千古难题,他全身心地投入研究.他研读了大量先人的学说,发现他们都没能摆脱旧日思想的沉疴,都不是完善的音律理论.据《明史·艺文志》载,朱载堉的一生有很多著作,内容涉及音乐、天文、历法、数学、舞蹈、文学等,是一个可以和李时珍、宋应星、徐光启、徐霞客齐名的重量级科学家,同时也是一位大百科全书式的学者（绘图/朱宇彤）
朱载堉在研究音律学的同时,发现前人可能忽略了计量学和度量衡的演变.他思考着：会不会是因为计量不准确,才导致计算偏差呢?他在确定量制标准的基础上,从数学理论出发,深入研究了等比数列,进而找到了计算等比数列的方法,并思考着将它运用到音律计算中.可这时,新的难题再一次袭来,等比数列涉及繁复的数学运算,只凭人的脑力恐怕难以成功.但朱载堉没有放弃,他创造性地运用珠算进行开方运算,还自创了珠算开方口诀,顺带解决了不同进位小数的换算方法,做出了有关计算法则的总结.
就这样,朱载堉在向难题冲刺的道路上,不断解决了难题周边的其他问题,并将从那些问题中获得的计算方法,应用到解决音乐难题的过程中.在音律理论上,他倡导七声音阶,把八度分成十二个半音以及变调;在推算方法上,他以珠算开方的办法,求得律制上的等比数列,第一次解决了十二律内自由旋宫转调的千古难题,因此,该音律理论被称为“十二平均律”.
在《律学新说》卷一中,详细记述了十二平均律的计算方法.他用发音体的长度来计算音高：假定黄钟正律为一尺,求出低八度的音高弦长为二尺,然后将2开12次方,得到频率公比数1.059463094,该公比自乘十二次即得十二律中各律音高,而黄钟正好可以将其还原.
那到底什么是十二平均律呢?所谓“十二平均律”,就是把中音C和高音C之间的频率“平均”分成12个间隔,每一个音符的频率和前一个音符的频率之比相等.这样,就把八度音分为十二等分,就是分为十二个等比级数,其结果就是每个音的频率为前一个音的2开12次方倍.对比数值我们能清楚地发现,朱载堉的计算已经到了很精确的地步.这一发现,几乎比欧洲人提前了半个世纪.
十二平均律理论的研究,不仅在数学上表现了极大的造诣,也极大地丰富了音乐的色彩和表现力.十二平均律的发现和运用,开创了世界音乐史的新纪元,许多伟大的音乐家及其大批划时代的作品,都受到了十二平均律的影响.如德国著名的钢琴家巴赫就很推崇十二平均律,还写下了48首植根于十二平均律的钢琴曲呢！朱载堉用横跨81档的特大算盘,进行和音律有关的数学计算
（绘图/朱宇彤）
寻找最美的音符：
音乐中的黄金分割
提到黄金分割,大家应该不会陌生.这个奇妙的数学理论总令人产生无限的遐想等从贝类动物身上的神秘螺线,到金字塔的边线角度,从人体的和谐线条,到无机物质的原子排列,生活中随处可见这个神秘的比例.那么,当黄金分割理论被应用于音乐中,又会碰撞出怎样的火花呢?
说到黄金分割率,就要讲一讲斐波那契数列.斐波那契是意大利数学家,他曾提出过一个有趣的问题：“如果有一对小兔,两个月后就能开始生产,从此每月产下一对小兔,产下来的小兔也是如此,如果所有的兔子都不死,那么一年以后能繁殖多少对兔子呢?”稍加计算,你会发现这道题的答案非常奇妙：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,等如此你就得到了斐波那契数列.仔细观察,你就会发现这个数列有个显著的特点：任何相邻两个数,其第一个数和第二个数的比值越来越接近黄金分割的数值0.618.
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参考文献：
1、 近二十年来海外有关中国音乐之和动向（上） 近年来，国内一改以往出版难的状况，各类出版物激增，音乐出版物也不例外。乍一看给人以学术思想活跃、新人辈出、研究成果丰硕之感，但仔细审视一下，则不。
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