论文一道高考三角形试题多解和多变是关于本文可作为相关专业多变论文写作研究的大学硕士与本科毕业论文性格多变的人怎么样论文开题报告范文和职称论文参考文献资料。
解三角形试题是每年高考的热点内容之一,主要考查正（余）弦定理、和差角、倍角公式等知识,以及三角恒等变换中的数学思想方法,检测学生的计算能力和逻辑推理能力,通常属于基础题.在解三角形试题中有一类四边三角形（有三条边是三角形的边,第四条边由三角形中的一条边上的点和相对的顶点连线得到）问题出现的频率较高,下面以一道2015年这样的高考试题为例,进行解法探究和变式梳理,供大家参考.
1试题
例1（2015年全国新课标Ⅱ理17）△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.
（Ⅰ）求sin∠Bsin∠C；
（Ⅱ）若AD等于1,DC等于22,求BD和AC的长.2试题特点
本题在三角形三边的基础上多了一条角平分线,属于典型的四边三角形问题.本题考查了正（余）弦定理、角平分线性质定理、等底同高三角形面积相等等知识.第（Ⅰ）问直接用正弦定理、角平分线性质定理即可得到答案；第（Ⅱ）问的难点是怎样求出AC的长,通过角平分线AD得到了三个三角形：△ABC,△ABD及△ACD,对于学习较死板的学生不知道在哪一个三角形中用定理、套公式,很容易盲目代数运算,费时费力,效果适得其反.这样的试题很能考查学生的识图能力以及灵活的解题思路.
3解法分析
（Ⅰ）略.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得ACAB等于12,设AC等于m,则AB等于2m.由△ABD面积是△ADC面积的2倍,得BD等于2CD.又DC等于22,所以BD等于2.接下来求线段AC的长.具体解法如下：
思路一代数法.
解析1如图1,在△ACD中,cos∠ADC等于AD2+CD2-AC22AD·CD等于324-22m2.图1
在△ABD中,cos∠ADB等于AD2+BD2-AB22AD·BD等于324-2m2.
因为∠ADB+∠ADC等于π,所以cos∠ADB+cos∠ADC等于0,即（324-22m2）+（324-2m2）等于0,解得m等于1,由此可求AC等于1.
解析2如图1,在△ACD中,cos∠CAD等于AD2+AC2-CD22AD·AC等于2m2+14m.
在△ABD中,cos∠BAD等于AD2+AB2-BD22AD·AB等于4m2-14m.
因为∠BAD等于∠CAD,所以cos∠BAD等于cos∠CAD,即2m2+14m等于4m2-14m,解得m等于1,由此可求AC等于1.
点评解析1利用∠ADB和∠ADC互补,然后利用余弦定理建立等式关系；解析2利用∠BAD和∠CAD相等,然后利用余弦定理建立等式关系.两种方法共同特点都是借助△ABD和△ACD角之间的关系建立方程,体现了方程的解题思想.
思路二向量法.
解析3因为AC等于AD+DC,所以AC2等于AD2+DC2+2AD·DC,
即m2等于32+2cos∠ADB.①
因为AB等于AD+DB,所以AB2等于AD2+DB2+2AD·DB,
即2m2等于32+2cos∠ADC.②
因为cos∠ADB+cos∠ADC等于0,所以①+②,得3m2等于3,解得m等于1,由此可求AC等于1.
点评向量既具有大小又有方向,所以向量是解决有关边长和角问题的重要工具,本题在两个三角形中利用向量的三角形法则,通过平方建立长度关系,这是常见的把向量转化为长度的一种处理方式.
思路三几何法.图2
解析4如图2,过点A作AE⊥BC于点E,设DE等于x.
在Rt△AED中,有AE2等于1-x2；
在Rt△ABE中,有AE2等于4m2-（2+x）2；
在Rt△ACE中,有AE2等于m2-（22-x）2.
由此得到4m2-（2+x）2等于m2-（22-x）2,1-x2等于m2-（22-x）2,分别整理得3m2等于32+32x,m2等于32-2x,消掉x得6m2等于6,即m等于1,由此可求AC等于1.图3
解析5如图3,过点D分别作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,设ED等于x,由AD平分∠BAC,则DF等于ED等于x,借助Rt△AED,Rt△BED,Rt△AFD,Rt△DFC根据勾股定理可得AE等于1-x2,BE等于2-x2,AF等于1-x2,CF等于12-x2,由AB等于2AC,可得212-x2+1-x2等于2-x2,解得x等于74,由此可求AC等于1.
点评解析4通过过点A作高,借助AE利用勾股定理得到方程组使问题得到解决.解析5由角平分线联想到构造角平分线的基本图形,虽然有一些计算量,但深刻认识了图形的特征,是学生较容易想到的一种解决方法.图4
解析6如图4,延长AD至E,使得∠ACE等于∠ADB,由∠ACE等于∠ACD+∠DCE,∠ADB等于∠ACD+∠DAC,
得∠DAC等于∠DCE.由AD平分∠BAC,得∠BAD等于∠DAC等于∠DCE,所以△ABD∽△AEC,△ABD∽△CED,即ABAE等于ADAC,ADCD等于BDDE,解得AE等于2m2,DE等于1.由AE-ED等于AD,得m等于1,即AC等于1.
点评解析6结合已知角平分线的条件,添加辅助线构造相似三角形,通过相似建立边的关系从而使问题得到解决,具有一定技巧性.
解析7由斯特瓦尔特定理（在△ABC中,若D是BC边上一点,则AB2·CD+AC2·BD-AD2·BC等于BD·CD·BC）得：图522（2m）2+2m2-322×12
等于22×322×2,解得m等于1,即AC等于1.
解析8如图5,作△ABC的外接圆交AD的延长线于点E,连接BE,EC.由AD平分∠BAC,得BE等于CE.
因为∠EAC等于∠EBC,∠BDE等于∠ADC,所以△BDE∽△ADC,即BDAD等于DEDC等于BEAC,解得DE等于1,BE等于CE等于2.
总结:此文是一篇多变论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
参考文献：
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