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利用可行域的公共部分求参数
例1 若直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ等于0]和不等式组[x+y-7<0,x-3y+1<0,3x-y-5>0]表示的平面区域有公共点,则实数[λ]的取值范围是（）
A. [（-∞,-137）?（9,+∞）]B. [（-137,1）?（9,+∞）]
C. [（1,9）]D. [（-∞,-137）]
解析 画出可行域,求得可行域的三个顶点[A（2,1）,][B（5,2）,C（3,4）].
而直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ等于0]恒过定点[P（0,-6）,]且斜率为[3λ+1λ-1],
因为[kPA等于72,kPB等于85,kPC等于103],
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞,-137）?（9,+∞）].
答案 A
点拨 画出可行域,求得可行域的三个顶点,确定直线过定点[P]（0,-6）,求得直线[PA,PB,PC]的斜率,其中最小值[85],最大值[72],则由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范围.
利用最值的倍数关系求参数
例2 已知[x],[y]满足[y≥x,x+y≤2,x≥a,]且[z等于2x+y]的最大值是最小值的[4]倍,则[a]的值是（）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 画出[x,y]满足[y≥x,x+y≤2,x≥a]的可行域如下图.
由 [y等于x,x+y等于2]得,[A1,1],由[x等于a,y等于x]得,[Ba,a].
当直线[z等于2x+y]过点[A1,1]时,目标函数[z等于2x+y]取得最大值,最大值为3.
当直线[z等于2x+y]过点[Ba,a]时,目标函数[z等于2x+y]取得最小值,最小值为[3a].
由条件得,[3等于4×3a,]所以[a等于14].
答案 B
点拨 由题意可先作出不等式表示的平面区域,再由[z等于2x+y]可得[y等于-2x+z],则[z]表示直线[y等于-2x+z]在[y]轴上的截距,截距越大,[z]越大,可求[z]的最大值和最小值.
利用充分条件关系求可行域的面积最小值
例3 已知[Ω]为[xOy]平面内的一个区域.[p]：点[（a,b）∈{（x,y）|x-y+2≤0,x≥0,3x+y-6≤0}];[q]：点[（a,b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分条件,那么区域[Ω]的面积的最小值是 .
解析 命题[p]对应的平面区域为如图阴影部分.
则由题意可知,[C（0,2）,B（0,6）].
由[x-y+2等于0,3x+y-6等于0,?x等于1,y等于3.]
即[D（1,3）],所以三角形[BCD]的面积为[12×6-2×1等于2],[p]是[q]的充分条件,那么区域[Ω]的面积的最小值是2.
答案 2
点拨 先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域[BCD],然后利用[p]是[q]的充分条件,确定平面区域[BCD]和[Ω]之间的面积关系.
利用可行域求向量射影的取值范围
例4 已知实数[x,y]满足约束条件[x+2y≥2,2x+y≤4,4x-y≥-1.]若[a等于x,y,b等于3,-1],设[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的数量,则[z]的取值范围是（）
A.[-32,6] B.[-1,6]
C.[-3210,610] D.[-110,610]
解析 画出约束条件的可行域,由可行域知：[a等于（x,y）等于2,0]时,[a]在[b]方向上的射影的数量最大,此时[a?b等于6],所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[610];当[a等于12,3]时,[a]在[b]方向上的射影的数量最小,此时[a?b等于-32],所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[-3210].所以[z]的取值范围是[[-3210,610]].
答案 C
点拨 作出不等式组对应的平面区域,利用向量投影的定义计算[z]的表达式,利用数形结合即可得到结论.
可行域中的最值问题和基本不等式结合
例5 若目标函数[z等于ax+by（a>0,b>0）]满足约束条件[2x-y-6≤0,x-y+2≥0,]且最大值为40,则[5a+1b]的最小值为（）
A. [256]B. 4 C. [94]D. 1
解析 不等式表示的平面区域阴影部分,
当直线[z等于ax+by（a>0,b>0）]过直线[x-y+2等于0]和直线[2x-y-6等于0]的交点（8,10）时,目标函数[z等于ax+by（a>0,b>0）]取得最大40,即[4a+5b等于20],
而[5a+1b等于5a+1b×4a+5b20等于54+5b4a+a5b≥94].
答案 C
点拨 先根据条件画出可行域,设[z等于ax+by][（a>0,][b>0）],再利用几何意义求最值,将最大值转化为[y]轴上的截距,只需求出直线[z等于ax+by（a>0,b>0）],过可行域内的点（8,10）时取得最大值,从而得到一个关于[a,b]的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.
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参考文献：
1、 古碑新考 莱子侯刻石刻于新莽天凤三年（16）二月，又名“新天凤刻石”。文曰：始建国天凤三年二月十三日，莱子侯为支人为封，使子良等用百馀人，后子孙毋坏败。
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