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极限是微积分中最基本、最主要的概念,它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势,而在无限变化过程中考察变量的变化趋势的思想就是极限思想.极限思想在高中数学和大学数学中起着承上启下的作用,同时在其它学科解决某些难题时也起着重要作用.
一、极限思想的概念文字理解
极限思想是近代数学的一种重要思想,它是数学分析的基础.所谓极限思想,就是指用运动观点和极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想.用极限思想解决问题时可以概括为如下几个步骤：1.研究被考察的未知量及其相关的变量,或者构造和未知量相关的变量；2.用运动的观点来确认,当变量通过无限变化的过程得到的结果就是所研究的未知量；3.用极限来计算被考察的未知量的结果.
二、极限思想的图象理解和符号表示
反思 上述解题取了点D在特殊位置的情况,因为不管点D在BC上的哪一位置,λ+μ的值是固定不变的,其实这也就是极限思想的一个极端位置,这样就给求λ+μ的值带来了意想不到的方便.如果用常规解法,需要设点D在BC的位置,然后再用平面向量基本定理求解,比较麻烦.
4.极限思想在立体几何中的应用
例4 正三棱锥两侧面所成的二面角范围是 .
解析 当正三棱锥的顶点和底面的距离无限接近时,两侧面的二面角趋近于π；当正三棱锥的顶点和底面的距离趋向无穷远时,两侧面的二面角趋近于底面正三角形的一个内角π3.综上所述,正三棱锥两侧面所成的二面角范围是（π3,π）.
反思 该题若用常规方法求解,求解过程会非常麻烦,因为棱锥的棱长和底面正三角形的边长是两个未知量,建立起关系式比较复杂.用极限思想考虑此问题,省去了繁琐的过程,不必计算就可获得结果.有兴趣的读者可以用极限思想求解：正n棱锥相邻侧面所成的二面角的取值范围.
5.极限思想在解析几何中的应用
例5 （湖州市2014年高三第二次教学质量检测）已知点P是双曲线x2a2-y2b2等于1（a>0,b>0）上的动点,F1,F2分别是其左、右焦点,O为坐标原点,若|PF1|+|PF2||OP|的最大值是6,则此双曲线的离心率是（ ）.
A.3 B.62 32 D.2
解析 不妨假设点P在第一象限,当点P向无穷远处运动,即x→+∞时,|PF1|,|PF2|,|OP|三者几乎相等,则|PF1|+|PF2||OP|→2.当点P从向无穷远处无限的向顶点运动的过程中,|PF1|+|PF2||OP|的值逐渐增大,当点P运动到顶点时,|PF1|+|PF2||OP|的值最大,因此|PF1|+|PF2||OP|等于（c+a）+（c-a）a等于2ca等于2e等于6,故离心率e等于62,因此,选项B正确.
反思 若用常规解法,需要用双曲线定义,余弦定理等,计算也比较麻烦.使用极限思想,达到简化计算过程,化难为易,深化思维,问题轻松获得解决的效果.综上所述,在解题中运用极限思想,的确是一种高效的方法,但是要注意,极限思想解决问题时不是万能的,不是所有的问题都能用极限思想去完成.在具备一定条件下,灵活运用极限思想,可以避开抽象复杂的运算,大大降低解题难度,达到事半功倍的效果.对于一些类型题,运用极限思想也可以起到拓展思维,激发灵感的作用,真可谓常规解法山穷水尽,极限思想柳暗花明.
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