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平面向量融数形于一体,具有几何形式和代数形式的双重身份.构造向量来解决代数、三角中的一些问题,不但方法新颖,运算简洁,而且也是启迪我们思维的一种有效的方法.下面我们通过举例说明平面向量这个工具在代数中的一些应用.
一、求值
例1 已知3sinθ+4cosθ等于5,求tanθ的值.
解析 本题的一般解法是将3sinθ+4cosθ等于5和sin2θ+cos2θ等于1联立建立方程组,解出sinθ,cosθ,再求tanθ.这里我们利用向量来解决该问题.
构造向量a等于（3,4）,b等于（sinθ,cosθ）,贝a·b等于5,且|a|等于5,|b|等于1,
又由a·b等于|a||b|cos,得cos等于1,即a,b同向平行,于是有4sinθ等于3cosθ,
从而可得tanθ等于3/4.
例2 已知0<α<β<γ<2π,且cosα+cosβ+cosγ=0,sinα+sinβ+sinγ=0,求β-α的值.
解析 构造向量a等于（cosα,sinα）,b等于（cosβ,sinβ）,c等于（cosγ,sinγ）,贝a,b,c有共同的起点O（坐标原点）,它们的终点A,B,C均在以O为圆心的单位圆上,且A,B,c三点按逆时针方向排列.依题意得a+b+c等于0,因此点O为△ABC的重心,又知点O为△ABC的外心,从而可知△ABC为等边三角形,于是β-α-γ-β等于2π/3.
二、求函数的最值
利用向量方法往往可以解决一些带根式的函数最值问题.
如图1可知,欲使得最大,则a的终点应为（2,0）,故当x等于0时,f（x）取到最小值为6.
没有而去构造,构造而去应用,解题另辟蹊径,面貌焕然一新.这是解题的智慧,这是数学的魅力,这是创造的价值.
当然不是所有的代数和三角问题都可以通过构造向量的方法解决,当一个代数问题中蕴含了一些和向量相关的量,比如常见的数量积、模长等,这个时候不妨考虑构造恰当的向量来解决问题,这是利用向量工具来解决代数和三角问题的关键.
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参考文献：
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