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必修五第一章《解三角形》是在初中学习了直角三角形边角关系和高中必修四学习了三角函数的基础上,进一步研究斜三角形中边和角的关系——正弦定理、余弦定理.这章以这两个定理为主体,进行解三角形的训练.在对本章进行教学和反思后,笔者发现这两个定理只是在研究三角形边角关系的基础上开出的鲜艳的“花朵”,而给这鲜艳花朵提供丰富营养的就是探究新问题时最常用的数学思想——化归思想,即将一般转化为特殊,将斜三角形转化为直角三角形,具体做法是做三角形的高,从而构造有一条公共高的两个直角三角形,而后在这两个直角三角形中,得到边和角的关系,再通过这条高衔接,从而得到原来的斜三角形中边角关系,即得到正余弦定理.再顺着这个思路纵深去考虑,为了得到一个斜三角形中边和角的关系,这条公共边不一定是高,还可以是其他的边,如：中线、角平分线等.再由特殊到一般去考虑,这条公共边也可以不是特殊的边,而是任意的边.因此,笔者将以上问题归结为一类问题,即“有一条公共边的两个三角形”,而且总结出解决这类问题的通法.下面一一作解.
1“公共边”为高的两个直角三角形
1.1正余弦定理的推导
在一个直角三角形中观察出边和角A,B,C满足asinA等于bsinB等于csinC之后,猜想该结论是否在斜三角形中成立（B版教材,以下提到的课本都是B版教材）.证明的方法是过三角形的一个顶点作高,将锐角三角形和钝角三角形转化为有一条公共边的两个直角三角形,再分别在两个直角三角形中寻找边和角的关系,并通过公共边去衔接,即证得正弦定理.同样,余弦定理的证明过程也是如此.体现出将一般的斜三角形转化为特殊的直角三角形、将未知转化为已知的化归思想.
1.2实际测量的运用
在实际测量中常需要构造有一条公共边的两个直角三角形,比如测量一个底部不能到达的建筑物的高度,如：在故宫护城河外测故宫一个角楼的高（B版1·2应用举例问题一）,或者通过山顶的仰角测量山的高度,或者测量河堤的背水坡的倾斜角的大小（B版习题1-2A的第2、第3题）.在这些问题中涉及到被测量物的高度,所以需要构造直角三角形,而构造一个直角三角形往往条件不够,所以需要构造以高为公共边的两个三角形.
1.3高考题中的频现
基于理论的推导和现实中实际测量的需要,“公共边为高的两个直角三角形”也是近年高考中解三角形的高频考点.如2014年四川理科卷的13题,也就是以B版教材P15练习A：2为原型出的一道题：
图1如图1,从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°,此时气球的高度是46m,则河流的宽度BC约等于m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,3≈1.73）
显然,可以在直角三角形ADB中利用直角三角形中边角的关系求出AB的值,同理,再在三角形ACD中求出AC的值,然后在△ABC中利用余弦定理求BC.或者以AB为公共边,找到∠ABD和∠ABC互补的关系,根据内错角互补求∠ABD的正弦值,进而求出∠ABC的正弦值,再在△ABC中应用正弦定理求解.
图2再如：2014年课标Ⅰ高考文科卷的一道题：如图2,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN等于60°,C点的仰角∠CAB等于45°以及∠MAC等于75°；从C点测得∠MCA等于60°.已知山高BC等于100m,则山高MN等于m.
解本题时,先在Rt△AMN中利用边角关系表达出边AM,同理在Rt△ABC中求出边AC,再在△AMC中利用正弦定理就求出边AM的值.
以上两道考题都属考试中的基础题,都是将直角三角形的边角关系和正余弦定理初步结合起来,进行简单的应用.
显然通过作高将斜三角形转化为直角三角形,并通过高为衔接,进而解斜三角形中的边和角的关系,这是课本中体现的解决问题的方法,也是高考中要考查的对基础知识的运用能力.因此,需要引起师生们的关注.
再纵深去考虑的话,不仅可以用高去衔接两个三角形,也可以通过中线和角平分线这样的特殊边去衔接两个三角形,去解三角形.
2“公共边”为中线和角平分线的两个斜三角形
2.1教材中的体现
课本在得出正弦定理,并进行简单的边角运算之后就给出一个以角平分线为公共边的解三角形的问题.
课本P5例2：如图3,在△ABC中,∠A的角平分线AD和边BC相交于点D,求证：BDDC等于ABAC.
证明令∠BAD等于∠CAD等于β,令∠BDA等于α,则∠CDA等于180°-α.在△ABD和△CAD中,由正弦定理得BDsinβ等于ABsinα①,DCsinβ等于ACsin（180°-α）等于ACsinα②,
由①BDAB等于sinβsinα,由②DCAC等于sinβsinα,等量代换得BDAB等于DCAC,再变形得BDDC等于ABAC.
显然在本题中,公共边AD和边BC构成的两个角互补是衔接两个三角形△ABD和△ACD的关键.因为此时互补的两个角∠ADB和∠ADC的正弦值恰好相等.再分别在两个三角形△ABD和△ACD中用两次正弦定理,成功地将两个三角形的边衔接起来.
图3图4下面再看以中线为“公共边”的题型：课本P10习题1-1B：4.如图4,已知△ABC中,AB等于43,AC等于23,AD为BC边上的中线,且∠BAD等于30°,求BC的长.
解△BDA中,BDsin30°等于ABsin∠BDA,
△ACD中,DCsin∠DAC等于ACsin∠ADC,
又因为BD等于DC,sin∠BDA等于sin∠ADC,
所以AB·sin30°等于AC·sin∠DAC.所以43×12等于23·sin∠DAC,所以sin∠DAC等于1,所以∠DAC等于90°.△ABC中,∠BAC等于120°,AB等于43,AC等于23,由余弦定理得BC等于221.
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参考文献：
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