论文对一道复合最值型数学学业水平考题探究是关于本文可作为相关专业道论文写作研究的大学硕士与本科毕业论文道的最高境界是什么论文开题报告范文和职称论文参考文献资料。
2015年1月举行的浙江省高中数学学业水平考试是我省实施学业水平考试后的第三次考试.本次考试起点低、层次多、落点高,全省抽样平均约为76分,获得了广大一线教师的好评. 试卷中的压轴题特别引人注目,试题是围绕二次函数设计而成的一个最大值中的最小问题,呈现时又以任意存在的描述方式展现给考生,试题不仅情景朴实、叙述简洁,而且立意高远,背景深刻,它对考生的抽象思维能力和解题能力提出了很高的要求.阅卷表明,绝大多数学生无从入手,难以破题,全省16万考生的难度抽样平均为0.2.为了帮助教师把握该题的本质,现撰文介绍,期待着教师站在知识系统的高度,把握课堂教学,从而实现轻负担高质量.
题目：设函数f（x）等于
-ax-b,a,b∈R.（I）当a等于0,b等于1时,写出函数f（x）的单调区间;（II）当a等于时,记函数f（x）在区间[0,4]的上的最大值为g（b）,在b变化时,求g（b）的最小值;（III）若对任意的实数a,b,总存在实数x0∈[0,4]使得f（x0）≥m成立,求实数m的取值范围.
一、解法探究
试题分成三小题,第一小题较基础,本文不作讨论. 第二小题为解第三小题作了铺垫,但阅卷表明,约有四分之一的学生能够解决.第三小题只有非常优秀的学生才能解答.然而仔细品味其中的奥秘,不仅有深刻的背景,而且有精彩优美的多种解法,是命题教师独具匠心的佳作,下面逐一介绍.
解法1 从二次函数对称轴是否在给定区间的视角入手.令等于t,得f（x）等于at2-t+b,t∈[0,2],原命题等价于m≤[min][a,b∈R] [max][t∈[0,2]]at2-t+b,设g（a,b）等于[max][t∈[0,2]]at2-t+b. ①当a等于0时,g（a,b）等于[max][t∈[0,2]]t-b等于max{b,b-2},所以[min][a,b∈R] g（a,b）等于1. ②当a<0,或0<a<时, g（a,b）等于[max][t∈[0,2]]{b,b-2（1-2a）},[min][a,b∈R] g（a,b）等于[a<0,或0<a<][min]1-2a等于[a<0,或0<a<][min]1-2a等于
[a<0,或0<a<][min]（1-2a）>.③当a≥时,g（a,b）等于[max][t∈[0,2]]{b,b-
,b-2（1-2a）}.若a≥时,如图1,2（1-2a）≤0<,所以[a≥,b∈R][min] g（a,b）等于
[a≥][min] [b∈R][min]g（a,b）等于[a≥][min]
-
等于[a≥][min]（2a+-1）.因为2a+-1关于a在[,+∞）单调递增,所以[a≥][min]（2a+-1）≥. 若≤a<时,如图2,0<2（1-2a）≤,[≤a<,b∈R][min]g（a,b）等于[≤a<][min][min][b∈R]g（a,b）等于[≤a<][min]
等于[≤a<][min]>,综合得实数m的取值范围是（-∞,].
解法2 从几何意义的视角入手.
令y1等于,y2等于ax+b,f（x）等于y1-y2表示幂函数y1等于图象上点（x,y1）和动直线y2等于ax+b上点（x,y2）的距离,记d等于y1-y2.
①当a等于时,如图3,设点A（4,2）,过O,A的直线为l1,和函数y1等于图象相切的直线为l3,和l1,l3等距的直线为l2,则l1,l3,l2的方程分别为y等于x,y等于x+,y等于x+,由幂函数的性质知,动直线l：y等于x+b平移时,f（x）等于y1-y2的最大值在端点O,A,及和l2幂函数图象相切时的切点处取到,于是[min][a,b∈R] [max][x∈[0,4]]
-ax-b是l2在y轴上的截距.
②当a>时,如图4,同上假设（下同）,和函数y1等于图象相切的直线l3为y等于ax+,过点A和l3平行的直线l1为y等于ax+2-4a,和l1,l3等距的直线l2为y等于ax+（-4a+2）.由幂函数性质知,动直线l：y等于ax+b平移时, f（x）等于y1-y2的最大值在端点A,或l2和幂函数图象相切的切点处取到,于是动直线l和l2重合时, f（x）等于y1-y2的最大值关于a,b取到最小值.即[min][a,b∈R] [max][x∈[0,4]]
-ax-b等于[a≥][min]（4a+-2）,因为4a+在（,+∞）单调递增,所以（-2+4a）>,所以[min][a,b∈R] [max][x∈[0,4]]
-ax-b>.
③当≤a<时,如图5,仿②处理,直线l：y等于ax+和y1等于图象相切的切点横坐标小于4,过O和l3平行的直线l1为y等于ax,和l1,l3等距的直线l2为y等于ax+.由幂函数性质知,动直线l：y等于ax+b平移时,f（x）等于y1-y2的最大值在端点O,或l2和幂函数图象的切点处取到,于是动直线l和l2重合时, f（x）等于y1-y2的最大值关于a,b取到最小值,于是[min][a,b∈R] [max][x∈[0,4]]
-ax-b等于[≤a<][min],因为>,所以[max][x∈[0,4]]
-ax-b>.
④当 0<a<,如图6,仿上处理,不妨仍先固守a,变动b,容易发现动直线l2：y等于ax+b平移时,和函数y1等于图象相切的切点模坐标大于4,此时,f（x）等于y1-y2的最大值在端点O或A取到,而过A,O和l平行的直线分别为y等于ax+2-4a,y等于ax,于是[min][a,b∈R] [max][x∈[0,4]]
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参考文献：
1、 一道数学竞赛试题的探究 （Ⅱ）设直线1xmy=+与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴对称点（A A′′与B不重合），则直线A B′与x轴是否交于一定点？若是，请写出定点。
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