论文一道自主招生试题解法和推广是适合不知如何写自主招生方面的相关专业大学硕士和本科毕业论文以及关于自主招生考试考什么论文开题报告范文和相关职称论文写作参考文献资料下载。
数学拓展课上,老师布置了一道上海交通大学自主招生试题作为课后思考题,我从方程和不等式的角度得到了该题的几种解法,并尝试推广问题,写成文章希望能给同学们一些启发.
题目 是否存在三边为连续自然数的三角形,使得最大角是最小角的三倍?
如图1,记三边长度分别为 ,记最大角为30,最小角为0.
分析题目条件,两角为三倍关系,让人很自然地联想到三角函数中的三倍角公式.正弦定理、余弦定理是建立三角形中边、角关系的基本工具,再利用三角恒等式可以得到关于n的方程,解方程即可解决问题.
解法1 由正弦定理得 由余弦定理得 ,故 ,试根知n等于2是方程的一个根,所以有 ,解得 ,检验知n等于2时不符合条件,所以不存在满足条件的三角形.
该方法思维量最小,但实际的运算量较大,在对三角函数的选择和三角恒等变换中需要运用一定的技巧来减少运算量.
本题的一个关键点在于三角形的三边都是自然数,解法1的解题过程中一直没有涉及这个条件,直到最后才使用它来验根,从而导致其解题步骤较为繁琐.若能较早使用这一条件,则可以大大简化解题过程.
立足于“边”的信息,从平面几何的角度考虑,发现可以通过作辅助线构造等腰三角形,利用三角形三边之间的关系,列出关于n的不等式,根据n为自然数得到问题的解.
解法2 如图2, ,三边只可能为1,2,3或2,3,4,检验知均不符合条件,故不存在满足条件的三角形.
立足于“角”的信息,再结合余弦定理,将角的范围转化为关于n的不等式,从而根据n为自然数得到问题的解. 解法3由 ,即 ’得 ,故 .由余弦定理得 ,故n等于3,4,5,6,检验知均不符合条件,故不存在满足条件的三角形.
从上述分析和解法中,可以看出：对一道数学题的多个条件的运用一定要有全局观,条件间的关系以及使用的顺序会对解题过程的复杂程度带来极大的影响.切忌匆匆“扫”到部分条件就开始“硬”做,解题的正道是充分了解题目信息,将条件“串”起来.
解决了这道自主招生题之后,我想是否可以推广问题的结论.首先想到的是将最大角和最小角的比值推广为m（m∈N*）,但是这样的符合条件的三角形未必存在；于是自然地想到第二个问题：如果放宽最大角和最小角的比值m的限制,那么这个比值的范围如何?
在推广问题的研究方法上,自然想到使用上文的解法.如果利用正、余弦定理得方程,则会出现高次方程问题无法解决,借助于添辅助线构造等腰三角形的方法也无法推广,于是只剩下解法3的思路：立足于“角”的信息,利用余弦函数的单调性来处理推广问题.
问题1 是否存在三边是连续自然数的三角形,使得最大角是最小角的m（m∈N+）倍?
当m等于1时,三角形为等腰三角形,显然不存在.
当m等于2时,由正弦定理知 ,由余弦定理知 解得 5,三边为4,5,6满足条件.
当m≥3时,易知
由余弦定理知
,故n等于3,4,5,6,检验知均不符合条件,故m≥3时不存在满足条件的三角形.
问题2 当三角形三边是连续自然数时,最大角和最小角的比值m的取值范围是什么?
考虑最大角 和最小角 的余弦值：
由余弦定理知 ,随 的增大而增大； ,随 的增大而减小.由余弦函数的单调性, 随 增大而减小,随n增大而增大,则当 越小,m越大,综合可知n等于3.当 时m取到最大值 ,当
所以
需要说明的是 是一系列离散的数构成的数列,区间 指明了这个数列的上、下界,m并不能取到该区间中的所有数.
当然,这道数学题还可以引申出很多值得思考的问题,如三角形三边是连续奇数、三边是三个相隔3的三个正整数等变式问题,也可以考虑将三角形问题推广到四面体,有兴趣的同学不妨一试.
对这道题的研究过程,让我深刻体会到老师经常说的话：平时的数学习题中蕴藏着丰富的思维价值,只要勤于思考,就能“在一只蘑菇周围找到一群蘑菇”.
总结:本文关于自主招生论文范文,可以做为相关论文参考文献,与写作提纲思路参考。
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