论文构造可导函数证明不等式是关于对不知道怎么写不等式论文范文课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文高中数学不等式公式论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料下载。
构造可导函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法. 它要求我们能通过观察不等式的结构,敏锐地联想到一些特殊函数所蕴含的不等关系,从而选择恰当的可导函数将不等式的证明问题在新的观点下转化为研究所构造函数的单调性、最值问题. 有同学会问那应该怎么“敏锐”地构造可导函数呢?这就是笔者在这里想向大家介绍的.
一元问题直接移项作差,构成函数
例1 当[0
分析 这是一个一元不等式,它也很特殊,用常规方法无效,不如将其移项到一边证明这个函数大于零.
证明 [设f（x）等于tanx-（x+x33）,]
则[f（x）等于1cos2x-1-x2等于（tanx-x）（tanx+x）].
[因为0
[构造函数h（x）等于tanx-x].
则[h（x）等于sin2xcos2x>0,故x∈（0,π2）时,h（x）为增函数.]
[∴h（x）>h（0）等于0].[则f（x）>0].
故当[x∈（0,π2）时, f（x）为增函数.]
[于是x∈（0,π2）时,f（x）>f（0）等于0.]
[即tanx-（x+x33）>0,故tanx>x+x33].
点评 证明不等式[f（x）>g（x）]（[f（x）
例2 证明：对任意的正整数[n], 不等式[ln1n+1>1n2-1n3]都成立.
证明 方法一：本题同样是一元不等式问题,同样可以用例1的方法来构造函数.
构造函数[f（x）等于lnx+1x+1x3-1x2,x≥1.]
则[f（x）等于-x3+2x2-x-3x4（x+1）].
[令h（x）等于-x3+2x2-x-3]（分母部分符号可以判断,忽略）,
则[h（x）等于-（3x-1）（x-1）].
因为[x≥1,h（x）<0,]故[h（x）]在[[1,+∞）]上单调递减.
所以[h（x）≤h（1）等于-3<0].
故[f（x）<0,][f（x）]在[[1,+∞）]上单调递减.
所以[f（x）又[x→+∞,f（x）→0.]（很多同学不会处理此处.）
[则f（x）>0.]
[取x等于n得,ln（1+1n）>1n2-1n3.]
方法二：也有人从所证结构出发,将[1n]看作一个整体,只需令[1n等于x],则问题转化为：“当[x>0]时,恒有[ln（x+1）>x2-x3]成立”.
现构造函数[h（x）等于x3-x2+ln（x+1）],求导即可证明.
令[h（x）等于x3-x2+ln（x+1）],
则[h（x）等于3x2-2x+1x+1等于3x3+（x-1）2x+1].
而[h（x）]在[x∈（0,+∞）]上恒正,
所以函数[h（x）]在[（0,+∞）]上单调递增.
所以[x∈（0,+∞）]时,恒有[h（x）>h（0）等于0.]
即[x3-x2+ln（x+1）>0].
所以[ln（x+1）>x2-x3].
对任意正整数[n],
取[x等于1n∈（0,+∞）,则有ln（1n+1）>1n2-1n3].
点评 两种方法孰优孰劣显而易见,所以构造函数时同学们还要注重整体思维的运用.
能分离的分离元,构造函数
例3 已知[m,n]是正整数,且[2≤m
分析 要證[（1+m）n>1+nm],即证[nln（1+m）][>mln（1+n）],只需证[ln（1+m）m>ln（1+n）n].
解 [设f（x）等于ln（1+x）x（x≥2）,]
则[f（x）等于x1+x-ln（1+x）x2.]
又[x≥2,0
所以[fx<0],则[f（x）]为单调递减函数.
又[2≤m 那么[ln（1+m）m>ln（1+n）n.] [所以nln（1+m）>mln（1+n）],即[1+mn>1+nm]. 点评 本题初看和导数无关,也无法构造函数,但当我们将这个二元不等式的两个元分列在不等式的两边时,即整理成[ln（1+m）m>ln（1+n）n]的形式,这里不等式左右两边结构相同,字母不同,保留结构,处理变量. 将二元问题化为一元问题,再利用函数的单调性证明. 以一元为变量,另一元为常量 例4 设[fx等于lnx],已知[0求证：[fb-fa>2ab-aa2+b2]. 证明 这个二元不等式不能像例3那样分离元,那么又该如何处理呢?下面给出几种构造辅助函数法. 方法一：要证[fb-fa>2ab-aa2+b2] ,即证[lnba>2ab-aa2+b2],只需证[lnba>2（ba-1）1+ba2]. 构造函数[F（x）等于lnx-2（x-1）1+x2（x>1）.] 则[F（x）等于（2x+1）（x-1）2x（1+x）2>0.] 总结:此文是一篇不等式论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。 参考文献： 1、 导数和导函数你们是几个意思 苏教版教材指出：在不引起混淆时，导函数f （x）也简称为f（x）的导数；人教版也有类似的说法：本书中，如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指。 2、 利用分离函数法证明函数不等式 令f（x）=lnx-（x2-x），则f′（x）=1x-2x+1=-（x-1）（2x+1）x，当00，f（x）单调递增，所以f（x）当x>1时。 3、 构造数列证明等式和不等式问题 与自然数n有关的不等式，我们常规的思考方法是数学归纳法证明 但有些问题用常规的思维方式寻求解题途径却比较繁琐，甚至无从着手 在这种情况下，如果我。 4、 概述高考中函数不等式恒成立问题 摘要：函数不等式恒成立问题是高考的热点问题分析了高考中常见的函数不等式恒成立问题的8种类型，并针对每种类型给出了例子 关键词：高考；函数不等式。 5、 利用导数求函数中参数取值范围 [摘要]函数参数的取值范围。不同于自变量的取值范围，求解函数中参数取值范围的方法有很多，利用导數求解是其中一[关键词]导数；参数；函数；取值范。 6、 基于基本不等式证明复习课案例分析 一、背景介绍2015年4月20日，省级名师工作室成员到我校开展教学诊断与指导活动，我很珍惜这次与专家“零距离”的接触，在课前进行了认真的教学设。