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摘 要：解决人口问题对国家的稳定和社会经济的发展都有很重要的作用,因此学术界一直以来都十分关注人口预测的研究课题.本文首先选取Logistics模型对人口规律进行了描述,对未来5年的人口进行预测,再运用灰色系统GM（1,1）模型对我国的人口进行了中短期的预测.引入Leslie模型,根据需要将育龄妇女生育率进行归一化,定义了年龄别水平,利用matlab软件对增长矩阵进行有限次的迭代,预测出来我国的人口高峰达到的时间,并会在之后的一段时间里趋于稳定.
关键词：人口预测；数学模型；分析
一、人口预测数学模型
人口预测方法体系中的数学和统计学方法一直被学术界沿用至今,下面根据研究结果分别选定Logistic模型对我国人口做短期预测；对我国人口进行中期预测时选定了灰色GM（1,1）模型；长期预测则由Leslie模型来完成.
1.Logistic模型
Logistic模型的原型是Malthus模型：学术界的增长矩阵选择灰色GM（1,1）模型预测人口的自然增长率为固定值,即单位时间内的人口增长与人口成比例.
并且假定人口的增长按照指数增长的函数进行；其模型的离散形式为：
[ （+ ） （）] 等于 ?住?
其中 （）表示时刻的人口总数, 就是人口的自然增长率.这个模型说明人口增长一倍所需要的时间是定值,且在未来无限增长.但是当人口总数达到环境最大承载数目时,净增长率趋于零.在这种情况下得到了预测人口增长更为合理的Logistic模型
再进行数据处理.根据中国人口总数的数据,用matlab求解该非线性拟合.得到 等于 0.0678, 等于 0.048 ,拟合的残差resnorm等于0.0016.由绘制的Logistic的增长型函数的图像,得出当∞时,p（t）等于等于14.1250.
然后进行 Logistic模型误差分析.我们通过统计年鉴等工具得到了相应的年代的人口的统计数据,然后利用matlab软件对数据进行处理后,得到了预测值,为了更好做误差分析,先定义误差率为d,预测值为a,真实值为c,然后根据公式求得误差率.
根据中国统计年鉴可以得到1989年到2005年年末的实际总人口总数,然后与函数预测的数值进行计算,我们可以得到相对应的误差率.可以得出随着时间的增长Logistic模型的误差率波动呈上升的趋势,但是该模型在短时间内的误差值比较小,2008年以后的误差率的数值是呈直线上升的趋势,所以我们可以用Logistic模型对我国的人口总数进行短时间内的粗略预测并以此对2018到2023年的人口总数进行预测.
根据数据推测出未来五年全国人口的总数分别为13.25亿、13.31亿、13.42亿、13.47亿和13.52亿；并且全国的总人口在未来趋近14.125亿.但是由误差率合一看到,Logistic模型适用于短期的预测,在中长期的情况下预测的效果不是很好,原因是在现代影响人口增长的因素有很多,除了环境的承载能力,还要受包括医疗水平提高、人口政策的变化,甚至是战争、生育观念等因素影响,而这些都不会在数据表面体现出来,Logistic模型在这方面的缺乏降低了人口预测的精确度.
2. GM（1,1）模型的建模与预测
建立GM（1,1）模型：设为已知的原始数据序 等于 {},先对原数据累加以弱化个别数据对整体的影响,生成的新表达式为等于（ 等于 1,2等,,从而得到新序列,然后构造背景序列等于 （2）, （3）,等, （）.一般取 等于 0.5建立影子方程为 等于.离散化,得到GM（1,1）灰微分方程 + 等于 ,其中c,v待定的系数.
求解GM（1,1）模型,应用最小二乘法可经下面的式子求得记 [c,v],[（0）,（0）,等,（0）].基于matlab软件编程求出参数c,v的值,得出预测方程（1）等于[（0）]+,则还原为原始预测值.
灰色模型进行长期的预测时候,时间序列长短和数据的随机波动都会对预测造成误差,因此,通过对数据进行等维递推的方法一定程度上可以消减灰色的区间,提高预测精度.等维递补方法的原理：首先按照已有的数据列建立灰色模型并且预测出第一个数值,再将这个值添加到之后的同事间去除的第一个数值,让它一直保持着等维度,然后再预测下一个 数值,以此类推,直到达成预测精度并完成预测目标.然后用matlab套用灰色模型的公式进行拟合并建模,为编程方便,将时间相应方程简化为等于 ?? （a ??） +,根据程序输出的结果得到原始时间响应方程,然后根据上诉方程预测2008年到2016年的人口数据.并用matlab求出模型的后驗差比值C等于0.0059468506和小概率的P 等于 1.将C值和P值与原数值进行对比,得出该模型的拟合的精度等级为“好”,且可以从上表看到其相对误差的变动范围基本维持在0.1%之间.这些可以进行接下来的人口预测.
根据上述得到的时间相应方程用matlab进行数据处理,得出我国2017年到2052年人口预测值.
2017年的预测值是13.67亿,并以线性的趋势持续增长,到2023年是14.078亿,2033年为14.78亿,2050年突破了16亿.从误差检验上看,灰色模型在短期和中期的预测效果非常好,要优于Logistic模型,但是从预测值整个变动的趋势上看,它的拟合值是呈现直线增长的方式并且长期发展下去,仅以单人口的因素进行推算而没有考虑其他因素,这个是本模型的缺点,所以可以肯定地说灰色系统模型不适合人口长期发展的预测,其误差也会随着时间的推移而逐渐增大.
3.人口增长的长期预测――Leslie模型
Logistic模型能够较好地反映短期人口增长的规律,但是限制的条件也很多,对长期的预测肯定不符合现实,因此本文引入第三个模型,Leslie模型进行人口增长的预测.
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参考文献：
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