论文2018年全国卷Ⅲ理科第20题别解和推广是关于对不知道怎么写2018论文范文课题研究的大学硕士、相关本科毕业论文2018清宫表生男生女图论文开题报告范文和文献综述及职称论文的作为参考文献资料下载。
试题已知抛物线C：y2等于2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.（Ⅰ）若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明：AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
这是2016年全国卷Ⅲ理科第20题,我们首先给出试题的一种新解法.
别解设直线AB：x等于my+t和C：y2等于2x相交于A（y212,y1）,B（y222,y2）,由x等于my+t
y2等于2x得y2-2my-2t等于0等①.
（Ⅰ）若F在线段AB上,则t等于12,①式变为y2-2my-1等于0,则y1y2等于-1.
于是R（-12,y1+y22）,即R（-12,y1-1y12）,即R（-12,y21-12y1）,则AR等于-（y21+12,y21+12y1）；
Q（-12,y2）即Q（-12,-1y1）,F（12,0） ,则FQ等于-（1,1y1）.由AR等于y21+12FQ得AR∥FQ；
（Ⅱ）因为S△PQF等于1 Q等于12y1-y2,S△ABF等于12t-12y1-y2,由条件得t-12等于12,则t等于1或t等于0（舍）,于是①式变为y2-2my-2等于0.设AB中点为M（x0,y0）,则y0等于m,
x20等于m2+1,
消去m得x0等于y20+1,即AB中点的轨迹方程为y2等于x-1.
通过探究我们发现：试题（Ⅰ）结论对于一般圆锥曲线都成立,得到圆锥曲线焦点弦的一个共同性质,用三个命题给出,并且命题的证明用到了如下引理.
引理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 .（引理易证,过程从略）.
命题1如图1,已知抛物线C：y2等于2px（p>0）的焦点为F,过F作直线交C于A,B两点,过A,B分别作C的准线x等于-p2的垂线,垂足为P,Q两点.若R是PQ的中点,则AR∥FQ.
图1图2证明如图1,延长射线AR交BQ所在直线于点H,由条件得AP∥BH.由R是PQ的中点得AP等于QH.由抛物线的定义得AF等于AP,BF等于BQ.在△ABH中,由BFFA等于B H及引理得AR∥FQ.
命题2如图2,已知椭圆C：x2a2+y2b2等于1（a>b>0）的左（右）焦点为F,过F作直线交C于A,B两点,过A,B分别作C的左（右）准线x等于-a2c（x等于a2c）的垂线,垂足为P,Q两点.若R是PQ的中点,则AR∥FQ.
证明如图2,当F为左焦点时,延长射线AR交BQ所在直线于点H,由条件得AP∥BH.由R是PQ的中点得AP等于QH.设椭圆的离心率为e,由椭圆的第二定义得AF等于eAP,BF等于eBQ.在△ABH中,由BFFA等于B H及引理得AR∥FQ.
当F为右焦点时,同理可证.
命题3已知双曲线C：x2a2-y2b2等于1（a,b>0）的左（右）焦点为F,过F作直线交C的左（右）支于A,B两点,过A,B分别作C的左（右）准线x等于-a2c（x等于a2c）的垂线,垂足为P,Q两点.若R是PQ的中点,则AR∥FQ.
命题3可以仿照命题2的证明方法证明.
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参考文献：
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