论文运用数学思想方法求解绝对值函数交点问题是关于本文可作为相关专业数学思想论文写作研究的大学硕士与本科毕业论文数学四大思想八大方法论文开题报告范文和职称论文参考文献资料。
在高三复习和高考中常会遇到有关绝对值函数的交点问题,学生对此类问题常感到陌生,不知从何人手.实际上,绝对值函数的交点问题灵活多变,综合性较强,不但要有扎实的基础,还要具备运用多种数学思想方法解决问题的能力.其中,数形结合、分类讨论和等价转化是解决绝对值函数问题最常用的思想和方法.本文将介绍如何运用数学思想方法求解绝对值函数交点的方法,希望能对大家有所启发和帮助.
一、数形结合,以“数”解“形”,
以“形”助“数”
华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观,形少数时难人微.”可见数形结合的重要性,绝对值有其独特的几何意义和深刻的“形”的背景,对于绝对值函数交点问题,最基本的方法就是数形结合,通过函数图象直观寻找解题思路.而绝对值函数图象义有自身的变换规律,一般可由y等于f（|x|）和y等于|f（x）|这两个函数的复合或变换而成.
其中,函数y等于f（|x|）的图象可以看作y等于f（x）的图象y轴右方图象保持不变,并将y轴右方的图象沿y轴向左翻折后所得.易知y等于f（|x|）为偶函数,图象关于y轴对称；而函数y等于f（|x|）的图象可以看作y等于f（x）的图象x轴上方图象保持不变,并将x轴下方的图象沿x轴向上翻折后所得,x轴下方无图象,恒有y等于f（|x|）≥o.
例1 已知函数f（x）等于|x2-4x+3|,（1）当m为何值时,可使方程f（x）等于m有四个不相等的实数根?（2）当m为何值时,可使方程f（x）等于mx有四个不相等的实数根?
分析 方程f（x）等于m和方程f（x）等于mx根的个数可转化为函数y等于f（x）图象分别和直线y等于m和过原点,斜率为m的动直线y等于mx的交点个数问题,先利用绝对值图象变换作f（x）的图象,如图1,再结合图形,分别找准确定交点个数的分界点,其中f（x）的图象和直线y等于m交点个数分界点为二次函数变换后的顶点纵坐标取值,和直线y等于mx交点个数分界点为是函数y等于-x2+4x-3（1 解 （1）作函数y等于f（x）图象如图1,由图可得： 当O （2）由图可得：当直线y等于mx和函数y等于x2+4x-3（1 即当mx等于x2+4x-3,△等于（m-4）2-12等于0时,解得 （舍）. 所以,m的取值范围为 点评 很多关于方程根的个数或函数零点问题,都可以构造两个较简单或熟悉的函数,将问题转化为讨论两函数图象的交点个数问题.其中,以转化成一条直线和一函数图象的交点问题最为常见,也最容易求解.同时,在求解过程中,还要清楚题设中参变量的几何意义（斜率、截距等）,这往往是解题的突破口,只有做到心中有“形”,解题时才能确保心中有“数”.例1问题（2）中的参数m几何意义为过原点的直线的斜率,只需求m直线和函数相切时的斜率m的值,当直线y等于mx在x轴和切线之间运动时,即斜率mm∈（）,直线和函数图象都有四个交点.另外还需注意一点：对于二次函数图象在变换前后顶点坐标,往往是决定它和其它函数图象的交点个数的关键点,因此,作图时一定要对它准确定量和定位. 二、分类讨论和等价转化,化难为易,各个击破 分类讨论和等价转化是高中数学重要的思想方法.对于一些由多个函数复合而成的或含两个绝对值的函数,不能直接通过图象变换得到,必须先对绝对值内的代数式符号进行分类讨论,去掉绝对值,将其转化为不含绝对值的分段函数,分别对每一段进行研究,化整为零,最终达到求解目的. 例2 （2015年江苏卷第13题）已知函 分析 可把绝对值内看成一个函数F（x）,从而将方程根的个数转化函数y等于|F（x）|和直线y等于1的交点个数.利用分类讨论去掉绝对值符号,求出|F（x）|的解析式,再次分类讨论,通过导数研究函数的单调性,画出图形,即可求解. 解 令F（x）等于f（x）+g（x）,方程实根的个数可转化为求函数y等于|F（x）|和直线y等于1的交点个数.由题意得： ①当0 ②当1 ③当x>2时,F（x）等于lnx+x2-6, 所以函数 作函数y等于|F（x）|图象,如图2,由图可知：函数y等于|F（x）|和直线y等于1的交点个数为4个. 点评 该题先利用等价转换的思想,将方程的根的个数转化为两函数图象的交点问题,然后再进行两次分类讨论,第一次分类讨论目的是去f（x+g（x绝对值符号,将其转化为分段函数F（x）,第二次分类讨论目的是判断函数F（x）的单调性.需注意的是：求解过程中,两个分界点|F（1）|等于O≠1和|F（2）|等于2 In2>1至关重要,它们直接决定交点个数.当然,该题还可利用绝对值意义,先进行分类讨论,将方程转化为不少同学认为y等于-g（x）+1在（1,2）区间上的图象时和f（x）会相交有一个交点,导致有5个实根错误判断.实际上,在区间（1,2）内函数y等于-g（x+1的图象始终在f（x）的图象的上方,此时两函数图象没有交点. 通过以上两例,我们可以体会到运用数形结合、分类讨论和等价转换的思想方法求解绝对值函数的交点问题的优越性和重要性,实际上,在运用这三种思想方法解绝对值函数的交点问题时,通常是将方程根的问题首先转化为两函数的交点问题,再利用绝对值函数的图象变换,以“数”解“形”,精准作出函数图象；而对于较复杂的绝对值问题则需先根据绝对值的几何意义,对绝对值内的代数式符号进行分类讨论,转化为分段函数,再作出函数在每一个区间上的图象.作图时尤其需注意分界点、极值点、对称轴、渐近线等基本量的准确性,它们是解题的关键.最后,以“形”助“数”,通过图形,确定数量关系,使问题得以解决. 巩固练习 1.已知函数f（x）等于|3x-1|,试讨论k取何值时,方程|3x-1|等于k无解?有一解?有两解? 参 1.k<0时无解；k=0或k≥l时有一解；O 总结:本文关于数学思想论文范文,可以做为相关论文参考文献,与写作提纲思路参考。 参考文献： 1、 数学思想方法在小学数学课堂教学中运用 摘 要：数学思想方法顾名思义就是依靠数学知识内容制定的思想方法，在小学数学课堂教学中引入这一教育方法，能够保证学生在短时间内掌握相应的数学知识，。 2、 小学数学教学中数学思想方法渗透 内容摘要：数学思想方法伴随着人类的实践活动发展起来并与时俱进，揭示了复杂事物的本质，推动认识的发展，使人们对数学理论与内容形成系统认知。探讨在小。 3、 初中数学教学中数学思想方法的渗透 摘要：数学思想方法是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行。 4、 对初中数学问题解决教学中数学思想方法应用 摘 要：初中数学教学中，教师要教会学生学习数学的方法而不是教会学生怎样求解这道题，要“授之以渔”。但是大多数的初中数学教师都注重教授学生数学的定。 5、 论小学数学教学中数学思想方法之渗透 摘 要：现如今小学阶段新课程标准已经进入深入改革阶段，新课标的核心就是“一切为了每个孩子的发展”，强调面向学生，培养学生的独立自主和探究创新的能。