论文初中数学中几何最值问题探究是适合初中数学论文写作的大学硕士及相关本科毕业论文，相关数学初中知识点总结开题报告范文和学术职称论文参考文献下载。
【摘 要】运动着的车、船、飞机,包括人们每天走路都要遇到几何中的最值问题.古今中外的任何旅行者总希望寻求最佳的旅行路线,尽量走近道,少走冤枉路.我们把这类求近道的问题统称最短线路问题.从某种意义上说,一笔画问题也属这类问题.看来最短线路问题在生产、科研和日常生活中确实重要且应用广泛.
【关键词】最值问题 解决方法 探究
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.
如图1所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后,再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?
在生活实践中,人们经常面对带有“最”字的问题,如在一定的方案中,花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时,我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要讨论的最值问题,同样在平面几何问题中,当某几何元素在给定条件下变动时,求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题,也是我们要讨论的最值问题.
解决问题：如图2所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线取A关于河岸的对称点A′,连结A′B,和河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,走的路程就是最短的.
如果将军在河边的另外任一点C′饮马,所走的路程就是AC′+C′B,但是,AC"+C"B等于A"C"+C"B>A"B等于A"C+CB等于AC+CB. 可见,在C点外任何一点C"饮马,所走的路程都要远一些.
这有几点需要说明的：
（1）由作法可知,河流l相当于线段AA"的中垂线,所以AD等于A′D.
（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC,就等于A′C+BC,而两点确定一条直线,所以C点即为所求.
变式题：（请同学们自己画图）若A、B两点分别在河流L的两侧,在河流L上取一点P使|PAPB|的值最大.
解决问题：作点A关于直线l的对称点A′,连结A′B并延长交直线l于P,则PA等于PA′,因而|PAPB|等于|PA′PB|,则当A′,B、P在同一条直线上时,|PAPB|的值最大.
如果在河边的另外任取一点异于点P的点P′,则P′A等于P′A′,因而|P′AP′B|
等于|P′A′P′B| A"B等于|PA′PB|等于|PAPB|,
可见,在P点外任何一点P",都有|P′AP′B||PAPB|,也就是|PAPB|
的值最大.
最值问题的解决方法通常有两种：
（1）应用几何性质：
①三角形的三边关系：两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；
②两点间线段最短；
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短；
④定圆中的所有弦中,直径最长.
（2）运用代数证法：
①运用配方法求二次函数或二次三项式的最值；
②运用一元二次方程根的判别式.
例如：在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA等于3,OB等于4,D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点,且EF等于2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
分析：（1）由于C、D是定点,则CD是定值,如果△CDE的周长最小,即DE+CE有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D",当点E在线段CD′上时,△CDE的周长最小；
（2）由于DC、EF的长为定值,如果四边形CDEF的周长最小,即DE+FC有最小值.为此,作点D关于x轴的对称点D",在CB边上截取CG等于2,当点E在线段D′G上时,四边形CDEF的周长最小.
解：（1）如图1,作点D关于x轴的对称点D",连结CD"和x轴交于点E,连结DE.若在边OA上任取点E"和点E不重合（如图2）,连结CE"、DE"、D"E".
由DE"+CE"等于D"E"+CE">CD"等于D"E+CE等于DE+CE,
可知△CDE的周长最小.
∵在矩形OACB中,OA等于3,OB等于4,D为OB的中点,
∴BC等于3,D"O等于DO等于2,D"B等于6,
∵OE∥BC,
∴点E的坐标为（1,0）；
（2）如圖3,作点D关于x轴的对称点D",在CB边上截取CG等于2,连结D"G和x轴交于点E,在EA上截取EF等于2,
∵GC∥EF,GC等于EF,
∴四边形GEFC为平行四边形,有GE等于CF,又DC、EF的长为定值,
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小.
∵OE∥BC,
点评：此题是2010年天津市中考数学试卷第25题,主要考查轴对称——最短路线问题,解决此类问题,一般都是运用轴对称的性质,将求折线问题转化为求线段问题,其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.
总之,在解答这种题目时一定要审清题目意思,注意条件,采用哪一个几何性质或定理,以及如何建立变量的函数关系式.题目千千万,关键是要学会总结,要培养良好的解题习惯及数学思维能力.
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参考文献：
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2、 初中数学探究式教学存在问题和解决策略 探究式学习是美国芝加哥大学教授施瓦布在《作为探究的科学教学》的演讲时提出的。在我国，早在2003年左右结合国家课程改革实验期间，就有不少人研究过。
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